Analysis: Kurvendiskussion, Integralrechnung...

Eingabebeispiele für Funktionen und Konstanten

math. Ausdruck	Bemerkung	Eingabe-Beispiel
π	Kreiszahl u/d = 3.14159...	pi
e	Eulersche Zahl = 2.71828...	e
0,3(x-1)^-2+x³/3	(gebrochen) rationale Funktion	0.3(x-1)^-2+x^3/3 oder 0.3(x-1)-2+...**
(2x²+3x)/(x+1)²		(2x^2+3x)/(x+1)^2
3⅕	gemischte Brüche	3'1/5 besser 16/5
√(x^2-3x+2)	Quadratwurzel	sqrt(x^2-3x+2) oder wurzel(x^2-3x+2)
∛(x/2-1/3)	Kubikwurzel	cbrt(x/2-1/3)
⁵√x	z.B. fünfte Wurzel aus x	root(x,5) besser als x^(1/5)
e^-½·x²	Exp.-Funktion, e-Funktion	exp(-x^2/2) oder e^(-x^2/2)
0.3•10^2x	Bsp. für Exponentialfunktion	0.3*10^(2x)
ln x, lg x, ld x	Logarithmus zur Basis e, 10, 2	besser ln(x)...
log₃ x	Beispiel Log. zur Basis 3	ln(x)/ln(3)
\|x+1\|	Betrag	\|x+1\| oder abs(x+1)
sin x, cos x, tan x, cot x	trigonometrische Funktionen	besser sin(x)...
sin²x ...	Quadrat der Sinusfunktion...	sin^2(x), besser sin(x)^2
cos^3(15°)-sin^3(15°)	...im Gradmaß	cos^3(15°)-sin^3(15°) oder gcos^3(15)-gsin^3(15)
arcsin x, ...	Umkehrfunktionen dazu	asin x, besser asin(x)...
sinh x, ...	sinus hyperbolicus...	(analog)
arsinh x, ...	Umkehrfunktionen dazu (Areafkt.)	(analog)
sec x, csc x, sech x, csch x	wer's braucht ;)	(analog)
floor(x), ceil(x)	abrunden, aufrunden	floor(x^2+2x+5)
..., 1 für x=0	behobene Unstetigkeit	(x != 0)? (e^x-1)/x : 1
Max(1,x)=(1+x+\|1-x\|)/2	Maximum von 1 und x	(x>1)? x : 1
sign x	1 für x>0, -1 für x<0	besser sign(x)
5!	5 fakultät (nur Zahlen)	3.5! oder fact(3.5), fact(-1.5)
Σ_k=1^∞ k^-2	Summe über k...	sum(k^-2,1,inf)
Γ(x)	Gamma-Funktion=(x-1)! (langsam)	gamma(x)
x²+y²+xy-9	implizite Funktion	x^2+y^2+xy-9
(5·cos(t) ; 4·sin(3t))	Parameterfunktion
ganz(f(a, b [,c][,s])	ganze [a,b] mit f(a,b)=0 oder [a,b,c] ~, s: nur b≥a, c≥b; X_min..max	ganz(1/a+1/b-1/7,s) ganz(a^2+b^2+c^2==13&&2a+b==1)
ggt(12, 9)	größter gem. Teiler
dio(a, b[, c, p])	ax+by=c [oder ggt(a,b)] [p=1;2 für x oder y >0]	dio(5, 9, -3, 1) → 5x+9y=-3, x > 0
modp(a, b, c)	a^b mod c	modp(56,78,9), modp("53^9*7^18",99,87)
C₅² = (₂⁵)	Binomialkoeffizient	comb(5, 2), comb(-1/2, 3)
V₅² = (₂⁵)·2!	Vari. ohne Wdh. (nur natürl. Zahlen)	vari(5,2)
X:=B_n;p, P(a≤X≤b)=bd(n,p,a,b)	summierte Binomialverteilung	bd(100,0.5,40,60)
φ(x) = 1/√(2π)·exp(-x²/2)	Normalverteilung	phi(x)
Φ(x) =_-∞∫^x φ(x) dx	Verteilungsfunktion	PHI(x)
_{x_min}∫^∞f(x) dx	uneigentliches Integral	automatisch bei f → 0
w(x) und wu(x)	obere und untere Lambert-W-Funktion
NaN	keine Zahl (not a number)	---

Im übrigen sind alle Funktionen und Konstanten verwendbar, die JavaScript des verwendeten Browsers kennt.

Versions-Info

V. 16.0 (21.9.25)

Ganzzahlige Lösung von Systemen mit bis zu 3 Variablen: ganz(...)
Lösen uneigentlicher Integrale bei einer Polstelle und ins Unendliche
Verbesserte Berechnung der Näherungspolynome

V. 15.4 (19.9.16)

Verbesserung der Fakultätsfunktion für reelle Argumente

V. 15.3 (25.5.16)

Parameterfunktion (t+1/t ; t^2+1/t-1) (langsam)

V. 15.1 (20.4.16)

implizite Funktionen (x^2+y^2-1)+99x^2y^2=0 (langsam)

V. 14.98 (12.12.15)

Lineare diophantische Gleichungen ax+by=c mit dio(a,b[,c,p])
V. 14.99: modp(a,b,c) berechnet a^b mod c

V. 14.97 (6.12.15)

z. T. algebraische Nullstellen >6. Grades

V. 14.96 (29.11.15)

Ergäzung: Zahlen kürzen bei gebrochenrationalen Funktionen

V. 14.5 (4.10.14)

Reihen und Partialsummen

V. 14.0 (30.8.14)

Symbolische Funktionsanzeige mit MathJax. Danke ORACLE, dass du JAVA unerträglich gemacht hast :(
Fehlerbehandlung verbessert

V. 13.9 (4.8.14)

Polynomkürzung bei gebrochenrationalen Funktionen

V. 13.8 (21.7.14)

Taylorpolynome verbessert, jetzt meist bis 5. Ordnung

V. 13.6 (15.6.14)

Vorschläge bei Falschschreibung

V. 13.5 (1.6.14)

Verhalten im Unendlichen (verbessert), Schnittpunkte f mit g verbessert (better1-Konzept)

V. 13.2 (13.5.14)

Verhalten im Unendlichen

V. 13.0 (3.5.14)

z. T. einseitige Polstellen, Überarbeitung des Layouts, "Twin"-Konzept,
dynamische Y-Skalierung der Grafik

V. 12.9 (15.4.14)

Algebraische Polynom-Lösungen z. B. bei Grad 5 oder 6 teilweise aus numerischen Lösungen "[reloaded]"
Verbesserte Korrektur von Eingabefehlern

V. 12.6 (6.10.13)

Funktionsanzeige mit LaTeXMathML (nur mit Firefox)

V. 12.5 (17.6.13)

Umstellung der Grafik auf das Canvas-Objekt. Zoom...-Funktion

V. 12.4 (27.4.13)

Plot-Applet: Verbesserte Anzeige der Skala, f'' jetzt ohne Rauschen bei extremen Funktionswerten

V. 12.1 (27.4.13)

Quotientenregel (endlich..., Testphase)

V. 12.0 Alpha (21.4.13)

Import von LaTeX-Ausdrücken. Überarbeitung der Hauptrechnungen.

V. 11.9 (31.3.13)

Vrbesserte Berechnung von Flächen, Bogenlängen, Polstellen.

V. 11.8 (21.3.13)

Wertetabelle hat einstellbare Schrittweite. Verbesserte Erkennung von Polynomen und Definitionslücken.

V. 11.7 (8.9.12)

Bugfixes...

V. 11.56 (29.3.12)

Lambert-W-Funktion

V. 11.5 (12.10.10)

gemischte Brüche

V. 11.45 (7.5.09)

Alle Nullstellen substituierbarer Polynome 6. Grades (inkl. komplexe) in algebraischer Form. Verbesserte Termerkennung.

V. 11.4 (27.4.09)

Alle Nullstellen von Polynomen 4. Grades (inkl. komplexe) in algebraischer Form, z.T. 5. und 6. Gerades. Funktionen Kombination (Binomialkoeffizient) sowie Variation ergänzt

V. 11.3 (26.12.08)

Anzeige der meisten komplexen Wurzeln 4. Grades, meist zum Zweck besserer Vereinfachungen reeller NSt.. Anzeige von Schnittpunkten der Kurven f und g.

V. 11 (19.2.07)

Algebraische Anzeige der Nullstellen bei Polynomen 4. Grades und z.Teil 5. und 6. Grades (bei Zerlegung oder Substitution) sowie Anzeige ausgeführter Polynomdivision

V. 10.7 (3.8.06)

Erkennung von z.B. sin^2(x) oder sin(x)^2
Präzisere Berechnung der 4. Ableitung für Taylorentwicklung, insbesondere an Definitionslücken
Tolerantere Eingabe bei Leerzeichen

V. 10.5 (29.4.06)

Neuer Algorithmus zur Erkennung von Brüchen mit Präzisions- und Geschwindigkeitsvorteil bei algebraischen Berechnungen.
Bessere Berechnung und Grafik bei extremen Intervallen.
Lösungen rein biquadratischer Gleichungen werden ebenfalls in algebraischen Ausdrücken angezeigt (V. 10.52)

V. 10.41 (5.11.05)

Es kann die Stelle x₀ der Tangente für die Grafik eingestellt werden.
Die Termvereinfachung der Ableitungen wurde verbessert. Die symbolischen Anzeige wurde verbessert (eckige Klammern, π). Die Anzeige von f' erfolgt nunmehr ebenfalls symbolisch.

V. 10.3 (31.3.05)

Die Eingabe einer zweiten Funktion g(x) wurde ergänzt. Das Layout wurde verbessert.

Ableitung

Symbolisches Differenzieren ist bisher weitestgehend implementiert bei nur geringer Termvereinfachung. Die Eingabe von f '(x) ist optional und wird vom Programm - wenn nötig - korrigiert.
Bei Bekanntheit von f ' erfolgen die Berechnungen im Zweifelsfalle genauer.
Das Deselektieren der Checkboxen für f ' unterdrückt das symbolische Differenzieren.

algebraische Nullstellenberechnung

... erfolgt bei Polynomfunktionen bis 4. Ordnng, in bestimmten Fällen bis 6. Ordnung. Die Resultate werden im Intervall numerisch geprüft. Manchmal werden beide Resultate gegenübergestellt.
Bei Abschaltung der zweiten Ableitung (Checkbox '' abhaken) erfolgt die Nullstellenberechnung nur numerisch.

Grafik

Das Anlegen von Tangenten an ganz- und halbzahlige x-Werte wird durch ein Raster erleichtert. Dazu sollte beim x-Intervall von 10 (Voreinstellung) die Breite auf 500 Pixel, beim x-Intervall von 15 - auf z.B. 600 Pixel eingestellt werden.
Durch die Schaltflächen können diverse Elemente ein- und ausgeschaltet werden.

Zur besseren Anzeige der Grafik kann der ober Frame verkleinert werden. Beim IE kann mit der Taste <F11> in den Vollbildmodus geschaltet werden.

Für einen weißen Grafikhintergrund wählt man den Farbcode FFFFFF
Mit der Drucktaste lässt sich der gesamte Bildschirminhalt z.B. in ein Grafikprogramm kopieren und dort für den Ausdruck der Grafik weiterbearbeiten. Alternativ dazu kann man beim IE auch nur markierte Bereiche drucken.

Zahleneingabe und -darstellung

Null vor dem Komma kann weggelassen werden, beispielsweise .25 für 0.25
Verwende Dezimalpunkt statt Komma.
Exponentielle Darstellung: 2.5e-4 bedeutet 2.5·10^-4=0.00025

Bekannte Probleme und Abhilfe

Polstellen werden zuweilen nicht oder falsch erkannt.
Werden Extrema usw. nicht gefunden, kann eine Intervallverkleinerung Abhilfe schaffen, zuweilen auch das Unterdrücken der Ableitungsfunktionen.
Wird trotz korrekter Eingabe nicht gerechnet, sollte zunächst die Ableitung unterdrückt werden.
Grenzwerte/Asymptoten sind problematisch bei langsam konvergierenden Funktionen, etwa Logarithmusfunktionen.

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Thomas Köhler
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